离散数学13_第6章 代数系统的一般概念
本文 重点是理解， 掌握以下几个重要的概念
一 幺元 零元 逆元的概念
幺元：任何元素跟幺元做运算， 还是此元素。 幺元也叫单位元。
零元： 零元这个元素跟任何元素做运算， 还是零元这个元素。
逆元： 以举例来理解定义
2 x (1/2) = 1, 1/2 x 2 = 1,
所以2的逆元是 1/2, 即2 ⁻¹ = 1/2, 这里 ⁻¹ 是表示逆元的符号， 不是 -1次方。
定义： （1）若b*a=e , e为幺元，则称b为a的左逆元
（2）若a*b=e, e为幺元， 则称b为a的右逆元
（3）当左逆元和右逆元相等时，则称b是a的逆元， 即 b* a = a * b =e,
记为
逆元具有个体性， 就是说有的元素存在逆元， 有的元素不存在逆元。
幺元和零元具有一般性， 一个代数系统要么没有幺(零)元，要么有唯一的幺(零)元。
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二 常见运算的 幺元 零元 逆元
对于乘法， 幺元是1， 零元是0，整数a的逆元是1/a， 但是0没有逆元；
对于加法， 幺元是0，逆元是-1, 没零元， 因为没有这种情况： 任意整数 + 0， 还会=0；
对于减法、除法， 没幺元， 没零元；
没幺元的原因： 没有任意整数-0，会= 0- 任意整数， 更没有任意整数除以0；
没零元的原因：因为没有任意整数-0， 还会=0，更没有任意整数除以0。
幺元 的简单直白理解 ：你做一个运算跟幺元， 跟没有幺元是 一样的结果， 有没有幺元都是那个元素。
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三 例题
在整数集Z上定义一个二元运算 * 如下： a* b=a+b+1, 证明:
分析： 要证明一个代数系统是群，分4步：
封闭的满足结合律， 即 a * (b * c) = (a*b) * c有幺元任何元素都有逆元。证明：∀a, b∈ Z, a*b = a+b-1 ∈Z, 所以封闭
a*(b*c） = a（b+c-1）-1 = a+b+c-2
(a*b) *c = (a+b-1) + c-1 = a+b+c-2, 所以a*(b*c) = (a*b)*c, 满足结合律。
a* -1 = -1*a =a, -1∈Z, 所以-1是幺元。
a * (2-a) = (2-a)*a=1, a⁻¹ = 2-a ∈Z, 所以∀a∈Z, 存在逆元a⁻¹=2-a
综上所述，
四.
群——环——整环——域
越往后， 加的限制条件越多。